数学及其发展史学习心得——当代的复杂数学

一切历史都是当代史，回顾数学发展的历史，其所有的感受，必来源于对当代数学的观察和反思。战后世界的数学已经发展至一个极其庞大且系统的科学，没有人能理解数学的全部了，就如同欧洲的大型强子对撞机一般，一切新鲜且复杂的数学对象都在激增，回顾数学发展史，就是为了反思如何处理今天遇到的新的数学对象——大量维度大的非线性的数学对象。 数学基本是研究数量关系，空间关系的学科，其起源大概是发明了数字。处理数字的能力并非人类独有，很多高级哺乳动物和鸟类都可以掌握最基本的数字运算概念，但是人类运用象征性符号将对大数量的记忆外包给了结绳或者一些其他的工具，这是数学史的一个重要进展，人类开始将自身的一些思维性质的能力视作一定的工具（记忆力变成了刻在石头上的符号），从这里开始人类将开始制造思维工具的伟大征途，其中的很大一部分表现为数学史。例如亚里士多德开发三段论的逻辑工具，同时期欧几里得开发“公理+证明”的逻辑工具，将人类的一些操作符号的思维操作也标准化为一定的符号（做个类比，如果是发明数字是研究数字的性质的话，发明逻辑操作就是研究有关数的函数的性质），再加上伽利略的实验辅助的演绎方法，这为现代科学奠定了方法基础。 这条路越走越远，康托尔的集合论非常具有一般性，布尔巴基学派的范畴论和数学结构主义就更加地泛化了，但泛化也存在着能力极限，哥德尔两个不完备定理指出了用单纯的逻辑推导设计的公理体系本质上的局限性，而后蔡廷就提出了蔡氏复杂性，不仅一致的（无矛盾）公理体系有一部分定理既不可证实也不可证伪（不完备），而且这部分定理非常非常多。数学大统一的泛化主义的梦想在这些人的驱逐中走向式微，罗素悖论在20世纪初能成为数学危机，哥德尔讨论不完备性同样是高潮却不再人尽皆知，科恩的力迫法在集合论领域又推起了一波小高潮，但而后又陷入冷清。 真的能提出一个泛化的理论表示出全部数学内容吗？仅就个人的观点而言，不完备性已经暗示了一切这个努力的归宿，我们的确可以把理论变得更复杂来使之前那个小理论的定理被全部证明，但这么做会使理论变大，产生新的不可证对象，这大概是演绎逻辑的方法自身的特性。21世纪新兴的比较抽象的范畴论也是源于在前沿凝聚态物理中的应用，抽象且泛化的方法终究还是要拥抱现实世界。 回顾这段数学大统一主义的历史，我们会发现一种“纯数学”的努力，这是一种本质上的一神教信念，大统一的数学就像基督教说的上帝，虽然没有人性，却创造了世界、无所不能一般。这种要解释一切的数学也是某种客观神，追求大统一理论的纯数学研究者则是严谨而真挚的信徒，企图用符号构造出数学之神的神迹，发现这位神暗示的真善美与自然的最终奥秘。不能说这种信念是疯狂的，实际上这个方向的探索为人类创造了巨大的文化财富，只不过现在这个路径已经愈发地难以为继了。 大统一主义今天已经亦步亦趋了，我个人知道的最近的也只是联系数论和代数几何领域的langlands纲领，就这还是上个世纪60年代的东西，统一主义的数学放慢了脚步，当代是大统一主义的坟墓。 当代数学是强健的，几千年文明的发展和几百年近代数学史的铺垫，使到当代的数学已经积累极其丰厚的知识成果。实际上大统一只是数学中较偏激的一个观念，更多的是比较抽象但根植于具体问题的其他数学领域：群论、拓扑、微分方程、数理统计、算子/泛函等等。但当代数学也是困难重重的，它面临着我在本文开头所暗示的麻烦：复杂非线性数学对象。若说大统一主义面临的问题是抽象理论中越来越繁杂的逻辑推导链条，那么各个没那么抽象的具体问题数学领域面对的就是极端庞大繁杂（难以约掉）的数学对象。 为什么要用庞大这个词呢？用庞大来形容问题得基于问题是被计数的，这暗含了一种计算数学的语境。忙碌的海狸问题（BB问题）提出对很多数学问题可以设计一种机器，通过进行庞大的计算可以验证数学命题真伪，据说计算BB（37）即可得出黎曼猜想的真伪。但这个过程的计算量是极其恐怖的，乃至有生之年无法完成。我认为计算主义显示出“复杂性”的问题。 计算主义暗示的“复杂性”困境是，如果考虑对某个理论的证明实际上就是有意义的数学和逻辑符号的堆砌，那么计算机可以有结构地进行穷举发现其中逻辑上合理且结果有效的证明的符号堆砌。事实上就是很多基本数学命题极其难以找到能证它真伪的恰当符号堆砌，无论是巧妙的人力，还是暴力的机器穷举。另外，如果考虑蔡廷复杂性所暗示的“定理的信息熵（复杂性）大于公理系统的信息熵的定理，该公理系统无法证明其真伪”，甚至都会怀疑一些定理实际上是无法找到一个证明的。 说到这里我想讨论一些很贴近现实工业领域的不那么纯数学的问题，比如流体力学的湍流问题所关系的纳维斯托克斯方程的解的性质，比如运筹规划的P与NP问题涉及到的最优规划的时间复杂性问题。前者可以视为求解无穷维空间中的动力系统的解性质的研究，后者的研究中发现所有NP问题可以归为NP完备问题，NP完备问题的典型一个是SAT可满足性的问题，如果能用P时间复杂性算法求解SAT可满足性问题即可解决NP问题。实际上，SAT可满足性问题可转为逻辑电路的问题：对一个规模呈指数增长的大型逻辑门电路，能否用多项式时间寻找得到给定输出的输入？一个是无穷维的非线性动力系统，另一个是超大电路的输入/输出预测，同样是在庞大的问题空间中搜索极小区域的答案。 面对这些大型复杂数学对象，当代数学以后会怎么走？这个有关数学的未来的问题可以反映回答者对数学历史的总看法。 我首先认为数学之辉煌魁丽在于近代史，数学的近代史是英雄史，天才们打拼出了数学世界的基本领域和精神面貌，到20世纪上叶达顶峰而后逐渐萧条，数学的近代史自冷战的结束也基本结束了，数学的当代史大概自21世纪20年代开始，无所不入的社交媒体、商业化的学术倾向、工程化的聘用考察和学术期刊制度把数学研究人员的工作和生活环境改造了个彻底，复杂系统和复杂性则在研究领域则会暗中不断引导数学研究的方向。 数学的当代史就在这些年暗中开启了，数学毕竟是定义和书写在可数的静态的符号上的，我不认为符号性的数学逻辑方法可以战胜跟不可计算数、不可数、无穷维、相变这些东西眉来眼去的复杂数学对象。也许未来会被发展出不使用符号却可以构造数学对象的数学方法？但现在这仍是难以想象的。 行笔至此，我却未对复杂数学对象这个我明里暗里在引出的东西做介绍，实际上我也不打算做这个介绍，这种介绍无非就是借来某些数学领域的词来做一个实际上还是没搞清楚的刻画——毕竟如果搞清楚了也就不成其问题了。 答案往往是蔽人耳目，而问题却可以引起思索。当代的数学本身也是极其庞大的，各个领域研究的重要问题也是极其庞大的，所有的这些庞大必然引起失措，进而迷茫。身处在这种迷茫中的每一个关心数学未来的人，包括我，难道心底里就不是困惑和混沌的吗？ 那么，也许回答当代数学以后会怎么走的最可能答案就是：“我一团乱，我不知道”吧。